해설실 — 2027학년도 9월 모의평가

공통 1번 2점 · 객관식

$\displaystyle 2^{\frac{3}{2}} \times 4^{-\frac{1}{2}}$ 의 값은?

① $\displaystyle 2^{-1}$
② $\displaystyle 2^{-\frac{1}{2}}$
③ $\displaystyle 1$
④ $\displaystyle 2^{\frac{1}{2}}$
⑤ $\displaystyle 2$

공통 2번 2점 · 객관식

함수 $f(x) = 2x^3 - x - 4$ 에 대하여 $\displaystyle \lim\limits_{x \mathrel{\text{→}} 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}$ 의 값은?

① $\displaystyle 19$
② $\displaystyle 21$
③ $\displaystyle 23$
④ $\displaystyle 25$
⑤ $\displaystyle 27$

공통 3번 3점 · 객관식

등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 에 대하여 $a_2=2, \quad a_{10}-a_7=9$ 일 때, $\displaystyle a_7$ 의 값은?

① $\displaystyle 16$
② $\displaystyle 17$
③ $\displaystyle 18$
④ $\displaystyle 19$
⑤ $\displaystyle 20$

공통 4번 3점 · 객관식

함수 $f(x) = \begin{cases} 7x+a & (x \le 2) \\[6pt] x^2+ax & (x>2) \end{cases}$ 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $\displaystyle a$ 의 값은?

① $\displaystyle 9$
② $\displaystyle 10$
③ $\displaystyle 11$
④ $\displaystyle 12$
⑤ $\displaystyle 13$

공통 5번 3점 · 객관식

$\displaystyle \int_{0}^{2} (2x^3+6x^2-x)dx$ 의 값은?

① $\displaystyle 22$
② $\displaystyle 24$
③ $\displaystyle 26$
④ $\displaystyle 28$
⑤ $\displaystyle 30$

공통 6번 3점 · 객관식

두 양수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ 에 대하여 함수 $f(x) = a\sin\dfrac{x}{b}+2$ 의 최댓값이 $\displaystyle 5$ 이고 주기가 $\displaystyle 8\pi$ 일 때, $\displaystyle a+b$ 의 값은?

① $\displaystyle 6$
② $\displaystyle \dfrac{25}{4}$
③ $\displaystyle \dfrac{13}{2}$
④ $\displaystyle \dfrac{27}{4}$
⑤ $\displaystyle 7$

공통 7번 3점 · 객관식

함수 $f(x) = 2x^3+ax^2-4ax$ 가 $\displaystyle x=1$ 에서 극소일 때, $\displaystyle f(x)$ 의 극댓값은? (단, $\displaystyle a$ 는 상수이다.)

① $\displaystyle 19$
② $\displaystyle 20$
③ $\displaystyle 21$
④ $\displaystyle 22$
⑤ $\displaystyle 23$

공통 8번 3점 · 객관식

모든 항이 양수인 등비수열 $\displaystyle \{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라 하자. $\dfrac{S_3}{a_1+2a_2} = \dfrac{7}{3}$ 일 때, $\displaystyle \dfrac{a_8}{a_6}$ 의 값은?

① $\displaystyle 4$
② $\displaystyle 9$
③ $\displaystyle 16$
④ $\displaystyle 25$
⑤ $\displaystyle 36$

공통 9번 4점 · 객관식

수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 있다. 시각이 $\displaystyle t \, (t \ge 0)$ 일 때 두 점 P, Q의 위치가 각각 $x_1=4t^3-t^2-11t, \quad x_2=2t^2+7t+3$ 이다. 두 점 P, Q의 속도가 같아지는 순간 두 점 P, Q의 가속도를 각각 $\displaystyle p$ , $\displaystyle q$ 라 할 때, $\displaystyle p-q$ 의 값은?

① $\displaystyle 30$
② $\displaystyle 33$
③ $\displaystyle 36$
④ $\displaystyle 39$
⑤ $\displaystyle 42$

정답 ① (평가원 공식 정답)

출처: 한국교육과정평가원 2027학년도 9월 모의평가 수학 영역

델타스킬 해설

두 점의 속도가 같아지는 순간이므로, 위치를 미분해 속도를 바로 구합니다.

v_1=\dfrac{dx_1}{dt}=12t^2-2t-11

v_2=\dfrac{dx_2}{dt}=4t+7

두 식의 값이 같아지는 $\displaystyle t$ 를 구하면 됩니다.

12t^2-2t-11=4t+7

12t^2-6t-18=0

2t^2-t-3=0

(2t-3)(t+1)=0

시각은 $\displaystyle t\ge 0$ 이므로 $\displaystyle t=-1$ 은 버리고 $\displaystyle t=\dfrac{3}{2}$ 만 남습니다.

이 시각의 가속도는 속도를 한 번 더 미분해 구합니다.

p=24\times\dfrac{3}{2}-2=34

q=4

따라서 $\displaystyle p-q=34-4=30$ 입니다.

답 ① 30

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★
두 위치를 미분해 속도 함수 둘을 만든다
단계 B ★★ ←관문
v₁=v₂ 방정식을 풀고 t≥0으로 근을 거른다
단계 C ★
그 시각의 두 가속도를 구해 p−q를 계산한다

스스로 확인하기

"속도가 같아지는 시각을 구했더니 근이 두 개다. 먼저 할 일은?" (A) t≥0 조건으로 근을 거른다 (B) 두 근을 모두 대입해 본다 (C) 가속도부터 계산한다 → (A). 정의역 밖 시각은 물리적으로 존재하지 않는다.

델타스킬 해설

두 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 로그로 각각 구하러 들어가면 식이 복잡해집니다.

거리 조건을 지수의 차로 바꾸는 것이 이 유형의 열쇠입니다.

점 A, B가 직선 $\displaystyle y=7$ 위에 있으므로 두 교점 조건은 다음과 같습니다.

16a^{x_1}=7, \quad \dfrac{1}{4}a^{x_2}=7

즉 $\displaystyle a^{x_1}=\dfrac{7}{16}$ , $\displaystyle a^{x_2}=28$ 입니다.

두 식을 나눕니다.

a^{x_2-x_1}=28\times\dfrac{16}{7}=64

두 점이 같은 높이에 있으므로 $\displaystyle \overline{\rm AB}=4$ 는 곧 $\displaystyle x_2-x_1=4$ 라는 뜻입니다.

따라서 $\displaystyle a^4=64$ 이고, $\displaystyle a>1$ 에서 $\displaystyle a=64^{\frac{1}{4}}=2\sqrt{2}$ 입니다.

답 ③ $\displaystyle 2\sqrt{2}$

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★
두 교점 조건을 a^x 값으로 번역한다(16a^x=7, ¼a^x=7)
단계 B ★★ ←관문
가로 거리 4를 두 지수의 비 a^{x₂−x₁}=64 로 옮긴다
단계 C ★
a⁴=64 를 풀어 a=2√2

스스로 확인하기

"두 교점의 x좌표를 각각 구하려니 로그가 복잡하다. 대신 쓸 것은?" (A) 두 식을 나눠 a^(x차이)로 만든다 (B) 로그를 취해 각각 계산한다 (C) 그래프를 그려 눈으로 읽는다 → (A). 거리가 지수 법칙 한 줄로 닫힌다.

델타스킬 해설

정적분으로 표현된 함수는 두 단계로 진행합니다.

1단계는 적분의 아래끝을 $\displaystyle x$ 에 대입하는 것이고, 2단계는 양변을 미분하는 것입니다.

1단계. $\displaystyle x=-1$ 을 대입하면 좌변은 $\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{-1}f(t)dt=0$ 입니다.

0=-f(-1)-2\times(-1)^3-3\times(-1)^2+6=-f(-1)+5

따라서 $\displaystyle f(-1)=5$ 입니다.

2단계. 양변을 $\displaystyle x$ 로 미분합니다.

f(x)=f(x)+xf'(x)-6x^2-6x

정리하면 $\displaystyle xf'(x)=6x^2+6x$ 이고, 양변이 다항식으로 모든 실수에서 같으므로 $\displaystyle f'(x)=6x+6$ 입니다.

즉 $\displaystyle f(x)=3x^2+6x+C$ 꼴입니다.

미분은 상수 정보를 지우므로, 1단계에서 얻어 둔 $\displaystyle f(-1)=5$ 로 상수를 되찾습니다.

f(-1)=3-6+C=5

따라서 $\displaystyle C=8$ 이고 $\displaystyle f(x)=3x^2+6x+8$ 입니다.

f(0)=8

답 ③ 8

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
양변을 x로 미분해 x·f'(x)=6x²+6x, f'(x)=6x+6 을 얻는다
단계 B ★★ ←관문
x=−1 을 원식에 대입해 미분으로 잃은 상수 정보를 되찾는다
단계 C ★
f(x)=3x²+6x+8 로 f(0)=8

스스로 확인하기

"미분해서 f'는 구했는데 상수가 남았다. 다음 한 수는?" (A) 적분 아래끝을 원식에 대입한다 (B) 다시 한 번 미분한다 (C) 상수를 0으로 둔다 → (A). 끝점 대입이 미분이 지운 정보를 돌려준다.

델타스킬 해설

삼각함수의 활용 문제는 풀이의 흐름을 먼저 잡고 시작합니다.

1단계, 삼각형 ABC에서 코사인법칙으로 $\displaystyle \overline{\rm BC}$ 를 구합니다.

2단계, 원에 내접하는 사각형의 성질로 $\displaystyle \sin(\angle{\rm BDC})$ 를 구합니다.

3단계, 삼각형 BCD에서 사인법칙으로 $\displaystyle \overline{\rm BD}$ 를 구합니다.

이제 각 단계를 차례로 진행합니다.

1단계. 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 씁니다.

\overline{\rm BC}^2=4^2+5^2-2\times 4\times 5\times\dfrac{1}{8}=16+25-5=36

따라서 $\displaystyle \overline{\rm BC}=6$ 입니다.

2단계. 네 점 A, B, D, C가 한 원 위에 있으므로 사각형 ABDC는 원에 내접합니다.

원에 내접하는 사각형은 마주 보는 두 각의 합이 $\displaystyle \pi$ 이므로 다음이 성립합니다.

\angle{\rm BDC}=\pi-\angle{\rm BAC}

$\displaystyle \cos(\angle{\rm BAC})=\dfrac{1}{8}$ 에서 $\displaystyle \sin(\angle{\rm BAC})=\sqrt{1-\dfrac{1}{64}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$ 입니다.

따라서 $\displaystyle \sin(\angle{\rm BDC})=\sin(\pi-\angle{\rm BAC})=\sin(\angle{\rm BAC})=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$ 입니다.

3단계. 삼각형 BCD에서 사인법칙을 씁니다.

\dfrac{\overline{\rm BD}}{\sin(\angle{\rm BCD})}=\dfrac{\overline{\rm BC}}{\sin(\angle{\rm BDC})}

\overline{\rm BD}=6\times\dfrac{\sqrt{14}}{4}\times\dfrac{8}{3\sqrt{7}}=4\sqrt{2}

점 D의 정확한 위치를 몰라도, 같은 원 위에 있다는 사실만으로 답이 나옵니다.

답 ④ $\displaystyle 4\sqrt{2}$

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★
코사인법칙으로 BC=6 을 확정한다
단계 B ★★ ←관문
sinA 를 구해 사인법칙으로 외접원 2R=16/√7 을 잡는다
단계 C ★★
같은 원에서 현 BD 에 사인법칙: BD=2R·sin(∠BCD)

스스로 확인하기

"BD를 구하는데 D의 위치가 잡히지 않는다. 먼저 확정할 것은?" (A) 외접원의 반지름 (B) D의 좌표 (C) ∠BDC의 크기 → (A). 원주각-현 관계(사인법칙)는 반지름만 알면 닫힌다.

편하고 빠른 풀이

조건 두 개가 $\displaystyle f$ 를 곧바로 확정해 주므로, 그래프를 한 번 그려 놓고 넓이 두 개로 읽으면 세 명제가 모두 그림에서 보입니다.

최고차항의 계수가 $\displaystyle 6$ 이고 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=6x^2+bx$ 로 놓으면, 남은 조건이 $\displaystyle b$ 를 정해 줍니다.

\int_{0}^{2}\left(6x^2+bx\right)dx=16+2b=4

즉 $\displaystyle b=-6$ 이고 $\displaystyle f(x)=6x(x-1)$ 이므로, 위 그림처럼 $\displaystyle 0$ 과 $\displaystyle 1$ 에서 $\displaystyle x$ 축을 만나는 아래로 볼록한 포물선이 되고 구간 $\displaystyle [0,\,1]$ 에는 $\displaystyle x$ 축 아래 넓이 $\displaystyle S_1$ 이, 구간 $\displaystyle [1,\,2]$ 에는 $\displaystyle x$ 축 위 넓이 $\displaystyle S_2$ 가 생깁니다.

이차함수의 그래프와 $\displaystyle x$ 축이 두 근 사이에서 만드는 넓이는 최고차항의 계수에 두 근 사이 거리의 세제곱을 곱해 $\displaystyle 6$ 으로 나눈 값이므로, $\displaystyle S_1=\dfrac{6\times 1^3}{6}=1$ 입니다.

조건 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)dx=4$ 는 아래쪽을 빼고 위쪽을 더한 값이라 $\displaystyle S_2-S_1=4$ 를 뜻하고, 즉 $\displaystyle S_2=5$ 입니다.

ㄱ. 절댓값을 씌우는 것은 아래쪽 넓이를 위로 접어 올려 함께 더하는 일이므로 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}|f(x)|dx=S_2+S_1=6$ 이고, ㄱ은 옳습니다.

ㄴ. $\displaystyle g(1)=0$ 인 일차함수는 점 $\displaystyle (1,\,0)$ 을 지나는 직선 $\displaystyle g(x)=m(x-1)$ 뿐이고, 아래 그림처럼 이 직선은 $\displaystyle x=1$ 의 좌우에 밑변이 $\displaystyle 1$ 이고 높이가 $\displaystyle m$ 인 삼각형을 하나씩 만듭니다.

두 삼각형은 넓이가 $\displaystyle \dfrac{m}{2}$ 로 같은데 하나는 $\displaystyle x$ 축 아래, 다른 하나는 위에 있어 더할 때 서로 지워지므로 적분값은 그대로 $\displaystyle 4$ 이고, ㄴ도 옳습니다.

ㄷ. 첫 조건도 결국 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}h(x)dx=0$ , 곧 $\displaystyle h$ 역시 $\displaystyle (1,\,0)$ 을 지나는 직선이라는 뜻이므로, $\displaystyle f+h$ 의 그래프는 아래 그림처럼 그 점을 축으로 기울어진 모습이 되어 왼쪽 골은 $\displaystyle \dfrac{m}{2}$ 만큼 깊어지고 오른쪽 봉우리는 $\displaystyle \dfrac{m}{2}$ 만큼 높아집니다.

\int_{0}^{2}\left|f(x)+h(x)\right|dx=\left(S_1+\dfrac{m}{2}\right)+\left(S_2+\dfrac{m}{2}\right)=6+m

따라서 $\displaystyle m=k-6$ 으로 잡으면 $\displaystyle 6$ 보다 큰 어떤 $\displaystyle k$ 도 만들 수 있어 ㄷ까지 옳고, 정답은 ⑤입니다.

델타스킬 해설

먼저 $\displaystyle f(x)$ 부터 확정합니다.

최고차항의 계수가 $\displaystyle 6$ 이고 $\displaystyle f(0)=0$ 이므로 $\displaystyle f(x)=6x^2+bx$ 로 놓을 수 있습니다.

\int_{0}^{2}(6x^2+bx)dx=16+2b=4

따라서 $\displaystyle b=-6$ 이고 $\displaystyle f(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$ 입니다.

근이 $\displaystyle 0$ 과 $\displaystyle 1$ 인, 아래로 볼록한 이차함수입니다.

ㄱ. $\displaystyle |f(x)|$ 의 정적분은 $\displaystyle f(x)$ 의 부호가 바뀌는 $\displaystyle x=1$ 에서 나누어 계산합니다.

구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서는 $\displaystyle f(x)\le 0$ 이므로 절댓값이 부호를 뒤집습니다.

-\int_{0}^{1}f(x)dx=1

구간 $\displaystyle [1,2]$ 에서는 $\displaystyle f(x)\ge 0$ 입니다.

\int_{1}^{2}f(x)dx=5

따라서 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}|f(x)|dx=1+5=6$ 으로 옳습니다.

이 값은 $\displaystyle f(x)$ 의 원시함수 $\displaystyle F(x)=2x^3-3x^2$ 의 높이 변화로도 계산할 수 있습니다.

$\displaystyle F(x)=2x^3-3x^2=x^2(2x-3)$ 으로 인수분해하면, 함숫값이 근까지의 거리의 곱으로 바로 나옵니다.

F(1)=1^2\times(2-3)=-1, \quad F(2)=2^2\times(4-3)=4

$\displaystyle F(0)=0$ 에서 $\displaystyle F(1)=-1$ 까지 내려간 높이가 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle F(1)=-1$ 에서 $\displaystyle F(2)=4$ 까지 올라간 높이가 $\displaystyle 5$ 이므로, 두 높이의 합 $\displaystyle 6$ 이 같은 답을 줍니다.

ㄴ. $\displaystyle g(1)=0$ 인 일차함수는 모두 $\displaystyle g(x)=m(x-1)$ 꼴입니다.

적분 구간 $\displaystyle [0,2]$ 는 $\displaystyle x=1$ 에 대하여 대칭이므로 다음이 성립합니다.

\int_{0}^{2}m(x-1)dx=m\left[\dfrac{1}{2}(x-1)^2\right]_{0}^{2}=m\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)=0

따라서 어떤 $\displaystyle m$ 에 대해서도 다음이 성립하여 옳습니다.

\int_{0}^{2}(f(x)+g(x))dx=4+0=4

ㄷ. 첫 조건 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x)+h(x))dx=4$ 는 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}h(x)dx=0$ 과 같습니다.

일차함수 $\displaystyle h(x)=px+q$ 에 대하여 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}h(x)dx=2p+2q=0$ 이므로 $\displaystyle q=-p$ 입니다.

즉 $\displaystyle h(x)=m(x-1)$ 꼴이면 첫 조건이 자동으로 만족됩니다.

이제 $\displaystyle f(x)+h(x)$ 를 인수분해합니다.

f(x)+h(x)=6x(x-1)+m(x-1)=(x-1)(6x+m)

$\displaystyle m>0$ 이면 두 근은 $\displaystyle x=1$ 과 $\displaystyle x=-\dfrac{m}{6}<0$ 이므로, 구간 $\displaystyle [0,2]$ 안의 근은 $\displaystyle x=1$ 하나뿐입니다.

원시함수를 $\displaystyle G(x)$ 라 합니다.

G(x)=\int\left(6x^2+(m-6)x-m\right)dx=2x^3+\dfrac{m-6}{2}x^2-mx

G(0)=0, \quad G(1)=-1-\dfrac{m}{2}, \quad G(2)=4

구간 $\displaystyle [0,1]$ 에서 $\displaystyle f(x)+h(x)\le 0$ , 구간 $\displaystyle [1,2]$ 에서 $\displaystyle f(x)+h(x)\ge 0$ 이므로 다음과 같이 계산됩니다.

\int_{0}^{2}|f(x)+h(x)|dx=-\{G(1)-G(0)\}+\{G(2)-G(1)\}=\left(1+\dfrac{m}{2}\right)+\left(5+\dfrac{m}{2}\right)=6+m

따라서 $\displaystyle m=k-6$ 으로 잡으면 $\displaystyle k>6$ 인 모든 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2}|f(x)+h(x)|dx=k$ 가 되므로 옳습니다.

그래프로 보면, $\displaystyle h(x)=m(x-1)$ 을 더하는 것은 $\displaystyle x=1$ 을 고정한 채 그래프를 기울이는 것입니다.

기울일수록 $\displaystyle x=1$ 좌우의 넓이가 함께 커지므로, 전체 넓이 $\displaystyle 6+m$ 은 $\displaystyle 6$ 보다 큰 어떤 값에도 도달합니다.

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳습니다.

답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★
f(0)=0·∫₀²f=4 로 f=6x(x−1) 을 확정한다
단계 B ★★
ㄱ: 근 0·1 로 부호를 갈라 |f| 적분 = 1+5 = 6
단계 C ★★ ←관문
ㄴ·ㄷ: g,h 를 m(x−1) 로 두면 ∫₀² 이 (x−1) 대칭으로 0
단계 D ★★★
ㄷ: ∫₀²|f+m(x−1)| = 6+m: k>6 전부 실현

스스로 확인하기

"ㄴ에서 일차함수 g가 무한히 많아 보인다. 먼저 볼 것은?" (A) g(1)=0이면 g=m(x−1) 꼴이고 [0,2]에서 적분이 0 (B) g를 몇 개 대입해 본다 (C) f와 g의 교점을 구한다 → (A). 조건이 꼴을 하나로 좁히고 대칭이 적분을 지운다.

델타스킬 해설

합의 각 항이 무엇인지부터 읽습니다.

$\displaystyle k$ 는 자연수이므로 $\displaystyle f(k)=\dfrac{1}{k}$ 이고, 분모는 항상 $\displaystyle 5f(k)=\dfrac{5}{k}$ 입니다.

분자 $\displaystyle f(\sqrt[3]{k})$ 는 $\displaystyle \sqrt[3]{k}$ 가 자연수인지, 즉 $\displaystyle k$ 가 세제곱수인지에 따라 갈립니다.

$\displaystyle k$ 가 세제곱수가 아니면 항은 다음과 같이 자연수입니다.

\dfrac{5}{5/k}=k

$\displaystyle k=m^3$ 이면 항은 다음과 같이 분수가 될 수 있습니다.

\dfrac{1/m}{5/m^3}=\dfrac{m^2}{5}

자연수 항의 합은 언제나 자연수입니다.

따라서 전체 합이 자연수인지는 $\displaystyle \dfrac{m^2}{5}$ 꼴 항들만 추적하면 됩니다.

즉 $\displaystyle m^2$ 을 $\displaystyle 5$ 로 나눈 나머지의 누적이 $\displaystyle 5$ 의 배수인지 보면 됩니다.

$\displaystyle m=1,2,3,4,5$ 에 대하여 $\displaystyle m^2$ 을 $\displaystyle 5$ 로 나눈 나머지는 차례로 $\displaystyle 1,4,4,1,0$ 입니다.

누적하면 $\displaystyle 1,5,9,10,10$ 입니다.

이제 $\displaystyle n$ 의 범위를 세제곱수 기준으로 나누어 판정합니다.

$\displaystyle 1\le n\le 7$ 이면 세제곱수는 $\displaystyle 1$ 뿐이고 누적이 $\displaystyle 1$ 이므로 자연수가 아닙니다.

$\displaystyle 8\le n\le 26$ 이면 세제곱수 $\displaystyle 1, 8$ 이 포함되어 누적이 $\displaystyle 5$ 이므로 자연수입니다. $\displaystyle 19$ 개입니다.

$\displaystyle 27\le n\le 63$ 이면 누적이 $\displaystyle 9$ 이므로 자연수가 아닙니다.

$\displaystyle 64\le n\le 124$ 이면 누적이 $\displaystyle 10$ 이므로 자연수입니다. $\displaystyle 61$ 개입니다.

$\displaystyle 125\le n\le 215$ 이면 $\displaystyle 5^2=25$ 의 나머지가 $\displaystyle 0$ 이라 누적이 $\displaystyle 10$ 그대로이므로 자연수입니다. $\displaystyle 91$ 개입니다.

$\displaystyle 216\le n\le 300$ 이면 $\displaystyle 6^2=36$ 의 나머지 $\displaystyle 1$ 이 더해져 누적이 $\displaystyle 11$ 이므로 자연수가 아닙니다.

따라서 구하는 개수는 $\displaystyle 19+61+91=171$ 입니다.

전체 합을 실제로 계산하러 들어가면 끝나지 않습니다.

자연수 부분은 언제나 자연수이므로, 판정에 필요한 것은 분수 부분뿐이라는 관점이 이 문항의 핵심입니다.

답 ⑤ 171

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
k가 세제곱수인지로 항을 가른다: 일반항 k, k=m³ 이면 m²/5
단계 B ★★★ ←관문
합의 소수부만 추적한다. Σ(m² mod 5)/5 의 누적
단계 C ★★
누적이 0이 되는 n 구간 [8,26]∪[64,124]∪[125,215] 의 개수를 센다

스스로 확인하기

"합이 자연수인 n을 찾는데 합 자체가 복잡하다. 무엇만 추적하나?" (A) 5로 나눈 나머지의 누적(소수부) (B) 합 전체의 값 (C) n(n+1)/2의 크기 → (A). 정수 부분은 언제나 정수: 소수부가 전부다.

델타스킬 해설

조건을 순서대로 폅니다.

모든 $\displaystyle a$ 에서 극한이 존재하려면, 분모가 $\displaystyle 0$ 이 되는 점이 아예 없거나, 있다면 그 점에서 분자도 함께 충분히 $\displaystyle 0$ 이 되어야 합니다.

$\displaystyle f(x)$ 의 두 근을 $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ $\displaystyle (\alpha>\beta)$ 라 하면 $\displaystyle f(x)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$ 입니다.

분모를 실제로 정리해 봅니다.

\begin{aligned}f(x)+f(x-t)&=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta+(x-t)^2-(\alpha+\beta)(x-t)+\alpha\beta\\[0.4em]&=2x^2-2(\alpha+\beta+t)x+t^2+(\alpha+\beta)t+2\alpha\beta\end{aligned}

판별식을 씁니다.

\dfrac{D}{4}=\{(\alpha+\beta)+t\}^2-2\{t^2+(\alpha+\beta)t+2\alpha\beta\}=(\alpha-\beta)^2-t^2

따라서 $\displaystyle t>\alpha-\beta$ 이면 분모가 실근을 갖지 않아 극한이 항상 존재합니다.

$\displaystyle t<\alpha-\beta$ 이면 분모가 서로 다른 두 실근을 갖는데, 고정된 분자가 두 점 모두에서 이중으로 $\displaystyle 0$ 이 될 수는 없으므로 극한이 존재하지 않는 $\displaystyle a$ 가 생깁니다.

그런데 문제가 준 집합의 범위에 $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ 가 포함되어 있으므로, 경계 $\displaystyle t=\alpha-\beta=\dfrac{3}{2}$ 에서도 극한이 존재해야 합니다.

$\displaystyle t=\alpha-\beta$ 일 때 판별식이 $\displaystyle 0$ 이므로 분모는 중근을 갖고, 그 위치는 다음과 같습니다.

x=\dfrac{(\alpha+\beta)+t}{2}=\dfrac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}=\alpha

이 점에서도 극한이 존재하려면 분자 $\displaystyle (2x+1)f(x)$ 가 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 이중으로 $\displaystyle 0$ 이어야 합니다.

$\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=\alpha$ 에서 한 번만 $\displaystyle 0$ 이 되므로, 나머지 한 번은 $\displaystyle 2x+1$ 이 맡아야 합니다.

2\alpha+1=0 \quad\rightarrow\quad \alpha=-\dfrac{1}{2}

따라서 $\displaystyle \beta=\alpha-\dfrac{3}{2}=-2$ 이고 $\displaystyle f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+2)$ 입니다.

확인하면 분자는 $\displaystyle 2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2(x+2)$ 가 되어 $\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}$ 에서 정말 이중으로 $\displaystyle 0$ 이 됩니다.

구하는 값을 계산합니다.

f(2)=\dfrac{5}{2}\times 4=10

답 ④ 10

해설 2 — 그래프로 읽기

분모 $\displaystyle f(x)+f(x-t)=0$ 은 $\displaystyle f(x-t)=-f(x)$ , 즉 $\displaystyle t$ 만큼 평행이동한 곡선과 부호를 바꾼 곡선의 교점입니다.

위 그림처럼 $\displaystyle t$ 가 커질수록 두 곡선은 멀어지고, $\displaystyle t>\dfrac{3}{2}$ 이면 만나지 않아 분모가 $\displaystyle 0$ 이 되는 점이 없으므로 극한은 저절로 존재합니다.

따라서 조건의 경계 $\displaystyle t=\dfrac{3}{2}$ 는 두 곡선이 접하는 순간입니다.

곡선 $\displaystyle y=-f(x)$ 는 $\displaystyle y=f(x)$ 를 $\displaystyle x$ 축에 대하여 뒤집은 것이므로, 두 곡선은 $\displaystyle f$ 의 두 근에서 $\displaystyle x$ 축 위로 만납니다.

$\displaystyle y=f(x-t)$ 는 $\displaystyle f$ 를 오른쪽으로 $\displaystyle t$ 만큼 민 것이므로, 두 근도 $\displaystyle t$ 만큼 따라갑니다.

밀려 온 왼쪽 근이 $\displaystyle -f$ 의 오른쪽 근에 포개지는 순간, 두 곡선은 $\displaystyle x$ 축 위의 그 한 점에서 접합니다.

즉 접하는 순간의 $\displaystyle t$ 는 두 근의 간격과 같고, 따라서 $\displaystyle f(x)=0$ 의 두 근의 간격이 $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ 입니다.

$\displaystyle t=\dfrac{3}{2}$ 에서도 극한이 존재해야 하므로, 접점에서 분모가 중근을 갖는 만큼 분자 $\displaystyle (2x+1)f(x)$ 도 두 번 $\displaystyle 0$ 이 되어야 합니다.

접점은 $\displaystyle x$ 축 위, 곧 $\displaystyle f$ 의 큰 근 자리이므로 $\displaystyle f$ 가 한 번을 맡고, 남은 한 번은 $\displaystyle 2x+1$ 의 몫이라 중근이 될 수 있는 값은 $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ 뿐입니다.

큰 근이 $\displaystyle -\dfrac{1}{2}$ , 간격이 $\displaystyle \dfrac{3}{2}$ 이므로 작은 근은 $\displaystyle -2$ 이고 함수가 완성됩니다.

f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)(x+2),\qquad f(2)=\dfrac{5}{2}\times4=10

정답은 ④입니다.

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
분모 f(x)+f(x−t) 의 판별식이 (p−q)²−t² 임을 계산한다
단계 B ★★ ←관문
t>|p−q| 면 실근 없음 → 집합의 경계 3/2 = 근 간격
단계 C ★★★
경계 t 에서 생기는 중근 x=q 가 분자 (2x+1)f(x) 의 이중영점이어야 → q=−1/2
단계 D ★
f=(x+½)(x+2) 로 f(2)=10

스스로 확인하기

"t의 범위 조건이 왜 3/2에서 갈리는지부터 잡아야 한다. 그 경계의 정체는?" (A) 분모의 판별식이 0이 되는 t (B) 분자가 0이 되는 t (C) f의 최솟값 → (A). 경계 = 분모 실근이 생기기 시작하는 지점이다.

델타스킬 해설

과정을 채우는 빈칸 문제입니다.

두 곡선의 교점에서 $\displaystyle \sin x=-k\cos x$ 입니다.

즉 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle \tan x=-k$ 의 해입니다.

$\displaystyle \tan$ 의 주기는 $\displaystyle \pi$ 이므로, $\displaystyle 0\le x\le 2\pi$ 에서 두 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 정확히 $\displaystyle \pi$ 만큼 떨어져 있습니다.

점 A의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle a$ 라 하면 점 B의 $\displaystyle x$ 좌표는 $\displaystyle a+\pi$ 입니다.

이때 B의 $\displaystyle y$ 좌표는 다음과 같습니다.

\sin(a+\pi)=-\sin a

따라서 (가)는 $\displaystyle a+\pi$ 입니다.

점 D는 B를 지나는 수평선 $\displaystyle y=-\sin a$ 가 곡선 $\displaystyle y=-k\cos x$ 와 다시 만나는 점입니다.

곡선 $\displaystyle y=-k\cos x$ 는 $\displaystyle 0\le x\le 2\pi$ 에서 직선 $\displaystyle x=\pi$ 에 대하여 대칭입니다.

한 교점의 $\displaystyle x$ 좌표가 $\displaystyle a+\pi$ 이므로 다른 교점의 $\displaystyle x$ 좌표는 다음과 같습니다.

2\pi-(a+\pi)=\pi-a

따라서 (나)는 $\displaystyle \pi-a$ 입니다.

이제 넓이 조건을 씁니다.

\overline{\rm DB}=(a+\pi)-(\pi-a)=2a

삼각형 CDB의 넓이는 다음과 같습니다.

\dfrac{1}{2}\times 2a\times 2\sin a=2a\sin a

삼각형 AOD의 넓이는 세 점 $\displaystyle {\rm A}(a,\sin a)$ , $\displaystyle {\rm O}(0,0)$ , $\displaystyle {\rm D}(\pi-a,-\sin a)$ 로 계산하면 $\displaystyle \dfrac{1}{2}\pi\sin a$ 입니다.

넓이 비가 $\displaystyle 14:5$ 이므로 다음이 성립합니다.

\dfrac{\frac{1}{2}\pi\sin a}{2a\sin a}=\dfrac{5}{14}

$\displaystyle \sin a$ 가 약분되고 $\displaystyle a=\dfrac{7\pi}{10}$ 입니다.

따라서 (다)는 $\displaystyle \dfrac{7\pi}{10}$ 입니다.

마지막 계산은 다음과 같습니다.

3\times\dfrac{p(\alpha)}{q(\alpha)}=3\times\dfrac{\alpha+\pi}{\pi-\alpha}=3\times\dfrac{17\pi/10}{3\pi/10}=17

답 17

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
교점 조건 sinx=−kcosx 를 tanx=−k 로: 두 근이 a 와 a+π
단계 B ★★ ←관문
수평선과 g 의 대칭으로 D=(π−a, −sin a) 를 읽는다
단계 C ★★
CDB 는 밑변 2a·높이 2sin a, AOD 는 ½π sin a: 비 14:5 로 a=7π/10
단계 D ★
3·p(α)/q(α) = 3·(17π/10)/(3π/10) = 17

스스로 확인하기

"D의 x좌표를 구하려는데 방정식이 또 나온다. 먼저 쓸 것은?" (A) cosx=cosθ의 대칭해 x=2π−θ, ±θ꼴 (B) 수치 근사 (C) 그래프에서 눈대중 → (A). 삼각방정식의 둘째 해는 대칭이 공짜로 준다.

편하고 빠른 풀이

조건 (나)는 「두 그래프의 뾰족한 곳을 서로 맞부딪혀 없애는 문제」로 읽으면 그림 세 장으로 정리됩니다.

조건 (가)에서 $\displaystyle f(x)=0$ 의 서로 다른 실근이 두 개인 삼차함수이므로, 중근 $\displaystyle r$ 와 단순근 $\displaystyle s$ 를 하나씩 갖는 $\displaystyle f(x)=(x-r)^2(x-s)$ 꼴입니다.

그림 ①처럼 $\displaystyle g$ 는 $\displaystyle f$ 가 $\displaystyle 0$ 이상인 곳을 아래로 뒤집고 음수인 곳을 일곱 배로 더 내린 그래프여서, 뾰족한 곳은 $\displaystyle f$ 의 부호가 바뀌는 단순근 $\displaystyle s$ 한 곳뿐이고 중근 $\displaystyle r$ 에서는 $\displaystyle x$ 축에 접하며 지나가 매끈합니다.

그림 ②의 절댓값 삼차함수도 같아서 단순근에서만 꺾이므로, 두 그래프를 더해 어디서나 매끈하려면 절댓값 안의 삼차식 $\displaystyle P(x)$ 도 중근을 가져야 합니다.

즉 세 근 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle 4-a$ 가운데 둘이 겹쳐야 하므로 $\displaystyle a=1,\;2,\;3$ 이고, 겹치고 남은 단순근이 $\displaystyle g$ 의 꺾임 자리인 $\displaystyle s$ 와 같아야 하므로 $\displaystyle P(x)=(x-r_0)^2(x-s)$ 로 쓸 수 있습니다.

그런데 꺾임은 자리만 같아서는 지워지지 않고 크기까지 같아야 하므로, 그림 ③처럼 $\displaystyle x=s$ 의 좌우에서 미분계수를 직접 맞춥니다.

$\displaystyle x<s$ 에서는 $\displaystyle f<0$ 이라 $\displaystyle g=7f$ 이고 $\displaystyle P<0$ 이라 $\displaystyle |P|=-P$ 이며, $\displaystyle x>s$ 에서는 $\displaystyle f>0$ 이라 $\displaystyle g=-f$ 이고 $\displaystyle |P|=P$ 이므로 다음 관계가 남습니다.

7f'(s)-P'(s)=-f'(s)+P'(s)\;\Rightarrow\;P'(s)=4f'(s)\;\Rightarrow\;(s-r_0)^2=4(s-r)^2

$\displaystyle a=2$ 이면 $\displaystyle s=1$ , $\displaystyle r_0=2$ 이므로 $\displaystyle (1-2)^2=4(1-r)^2$ 에서 $\displaystyle r=\dfrac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle r=\dfrac{3}{2}$ 이고, $\displaystyle f(0)=-r^2s$ 이므로 $\displaystyle f(0)=-\dfrac{1}{4}$ 또는 $\displaystyle f(0)=-\dfrac{9}{4}$ 입니다.

$\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=3$ 이면 $\displaystyle s=3$ , $\displaystyle r_0=1$ 이므로 $\displaystyle (3-1)^2=4(3-r)^2$ 에서 $\displaystyle r=2$ 또는 $\displaystyle r=4$ 이고, 같은 식에서 $\displaystyle f(0)=-12$ 또는 $\displaystyle f(0)=-48$ 입니다.

따라서 최댓값 $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ 과 최솟값 $\displaystyle -48$ 의 곱인 $\displaystyle 12$ 가 답입니다.

델타스킬 해설

절댓값과 구간 정의가 만드는 첨점들이 서로 정확히 상쇄되어야 $\displaystyle h(x)$ 가 미분가능해집니다.

어디에 첨점이 생기는지부터 세어 봅니다.

먼저 $\displaystyle g(x)$ 의 첨점. 조건 (가)에서 서로 다른 실근이 $\displaystyle 2$ 개인 삼차함수는 중근 하나와 단순근 하나를 가집니다.

중근을 $\displaystyle r$ , 단순근을 $\displaystyle s$ 라 합니다.

f(x)=(x-r)^2(x-s) \quad (r\ne s)

$\displaystyle (x-r)^2\ge 0$ 이므로 $\displaystyle f(x)$ 의 부호는 $\displaystyle x-s$ 의 부호와 같습니다.

즉 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=s$ 의 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수입니다.

따라서 $\displaystyle g(x)$ 는 $\displaystyle x=s$ 의 왼쪽에서 $\displaystyle 7f(x)$ , 오른쪽에서 $\displaystyle -f(x)$ 입니다.

$\displaystyle x=r$ 에서는 $\displaystyle f(r)=0$ 이지만 부호가 바뀌지 않고 $\displaystyle f'(r)=0$ 이므로 $\displaystyle g(x)$ 는 매끄럽게 이어집니다.

즉 $\displaystyle g(x)$ 의 첨점은 $\displaystyle x=s$ 하나뿐입니다.

다음으로 절댓값 쪽 첨점. $\displaystyle P(x)=(x-1)(x-a)(x-4+a)$ 라 하면, $\displaystyle |P(x)|$ 는 $\displaystyle P(x)$ 의 단순근마다 첨점이 생기고 중근에서는 생기지 않습니다.

$\displaystyle h(x)=g(x)+|P(x)|$ 가 모든 점에서 미분가능하려면, 두 쪽의 첨점이 자리도 개수도 같아야 상쇄될 수 있습니다.

$\displaystyle g(x)$ 쪽 첨점이 $\displaystyle x=s$ 하나뿐이므로, $\displaystyle P(x)$ 의 세 근 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle 4-a$ 중 둘이 겹쳐 중근이 되고, 남은 단순근이 $\displaystyle s$ 와 일치해야 합니다.

겹치는 경우를 차례로 봅니다.

$\displaystyle a=2$ 이면 근이 $\displaystyle 1, 2, 2$ 가 되어 단순근은 $\displaystyle x=1$ 입니다.

$\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=3$ 이면 근이 $\displaystyle 1, 1, 3$ 이 되어 단순근은 $\displaystyle x=3$ 입니다.

상쇄 조건. 첨점을 미분가능하게 하는 조건은, 미분계수의 좌극한끼리 계산한 값과 우극한끼리 계산한 값이 같아야 한다는 것입니다.

$\displaystyle x=s$ 의 왼쪽에서는 $\displaystyle P(x)<0$ 이므로 $\displaystyle |P(x)|=-P(x)$ 이고, 오른쪽에서는 $\displaystyle |P(x)|=P(x)$ 입니다.

좌극한끼리 계산합니다.

\lim_{x\to s^-}h'(x)=7f'(s)-P'(s)

우극한끼리 계산합니다.

\lim_{x\to s^+}h'(x)=-f'(s)+P'(s)

두 값이 같아야 하므로 다음이 성립합니다.

7f'(s)-P'(s)=-f'(s)+P'(s) \quad\rightarrow\quad P'(s)=4f'(s)

여기서 $\displaystyle f'(s)=(s-r)^2$ 입니다.

경우 1. $\displaystyle a=2$ , $\displaystyle s=1$ .

$\displaystyle P(x)=(x-1)(x-2)^2$ 이므로 $\displaystyle P'(1)=(1-2)^2=1$ 입니다.

미분가능하도록 하는 근 $\displaystyle r$ 의 값을 찾습니다.

1=4(1-r)^2 \quad\rightarrow\quad (1-r)^2=\dfrac{1}{4} \quad\rightarrow\quad r=\dfrac{1}{2} \;\text{또는}\; r=\dfrac{3}{2}

$\displaystyle f(0)=(0-r)^2(0-1)=-r^2$ 이므로 $\displaystyle f(0)=-\dfrac{1}{4}$ 또는 $\displaystyle f(0)=-\dfrac{9}{4}$ 입니다.

경우 2. $\displaystyle a=1$ 또는 $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle s=3$ .

$\displaystyle P(x)=(x-1)^2(x-3)$ 이므로 $\displaystyle P'(3)=(3-1)^2=4$ 입니다.

4=4(3-r)^2 \quad\rightarrow\quad (3-r)^2=1 \quad\rightarrow\quad r=2 \;\text{또는}\; r=4

$\displaystyle f(0)=(0-r)^2(0-3)=-3r^2$ 이므로 $\displaystyle f(0)=-12$ 또는 $\displaystyle f(0)=-48$ 입니다.

정리. $\displaystyle f(0)$ 의 후보는 $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ , $\displaystyle -\dfrac{9}{4}$ , $\displaystyle -12$ , $\displaystyle -48$ 입니다.

최댓값 $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ 과 최솟값 $\displaystyle -48$ 의 곱은 $\displaystyle 12$ 입니다.

이 문제의 족보. 「첨점 상쇄」는 기출이 여러 해에 걸쳐 쌓아 온 계열입니다.

쉬운 것부터 차례로 보면 다음과 같습니다.

2013학년도 수능 21번은 첨점이 어디서 몇 개 생기는지 세는 눈을 묻습니다.

2015학년도 수능 B형 30번은 절댓값 합의 첨점 지우기입니다.

2021학년도 9월 모평 30번은 절댓값을 씌운 다항식이 미분가능할 조건, 곧 모든 실근이 중근이어야 한다는 성질을 묻습니다. 오늘의 「중근 만들기」가 이것입니다.

2018학년도 10월 학평 30번은 곱의 첨점을 상대 인수의 영점으로 지우는 유형입니다.

오늘 21번은 첨점의 자리만이 아니라, 구간별 상수배가 만드는 첨점의 크기까지 맞춰야 하는 최신 진화형입니다.

답 12

해설 2 — 그래프로 읽기

조건 (나)는 그래프의 꺾임을 맞부딪혀 없애는 문제로 읽으면 한 그림이 됩니다.

먼저 $\displaystyle g$ 의 그래프를 그립니다.

$\displaystyle f(x)\ge 0$ 인 부분은 $\displaystyle -f$ 로 아래로 뒤집고, $\displaystyle f(x)<0$ 인 부분은 $\displaystyle 7f$ 로 일곱 배 깊게 내립니다.

그러면 $\displaystyle g$ 는 항상 $\displaystyle 0$ 이하이고, 그림 ①처럼 꺾임은 $\displaystyle f$ 의 단순근 $\displaystyle s$ 한 곳에서만 생깁니다.

중근 $\displaystyle r$ 에서는 그래프가 $\displaystyle x$ 축에 접하므로 매끈합니다.

절댓값 삼차 $\displaystyle |(x-1)(x-a)(x-4+a)|$ 도 같습니다.

그림 ②처럼 절댓값을 씌우면 단순근에서만 꺾이고 중근에서는 매끈합니다.

$\displaystyle h$ 가 모든 점에서 미분가능하려면 두 그래프의 꺾임이 남김없이 상쇄되어야 하므로, 절댓값 안의 삼차식은 중근을 가져야 합니다.

세 근 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle 4-a$ 가운데 둘이 겹치는 경우를 하나씩 셉니다.

$\displaystyle 1=a$ 이면 $\displaystyle a=1$ 이고 근은 $\displaystyle 1,\ 1,\ 3$ 입니다.

$\displaystyle 1=4-a$ 이면 $\displaystyle a=3$ 이고 근은 $\displaystyle 1,\ 3,\ 1$ 입니다.

$\displaystyle a=4-a$ 이면 $\displaystyle a=2$ 이고 근은 $\displaystyle 1,\ 2,\ 2$ 입니다.

a=1,\;2,\;3

이때 단순근은 $\displaystyle a=1,3$ 이면 $\displaystyle 3$ , $\displaystyle a=2$ 이면 $\displaystyle 1$ 이고, 이 단순근이 $\displaystyle g$ 의 꺾임 자리 $\displaystyle s$ 와 일치해야 합니다.

남은 것은 크기입니다.

같은 자리에서 두 꺾임이 같은 크기, 반대 방향이어야 상쇄되므로, $\displaystyle x=s$ 의 좌우에서 미분계수를 직접 맞춥니다.

절댓값 안 삼차식을 $\displaystyle P(x)=(x-r_0)^2(x-s)$ 라 쓰고 $\displaystyle f(x)=(x-r)^2(x-s)$ 라 둡니다.

$\displaystyle x<s$ 에서는 $\displaystyle f<0$ 이므로 $\displaystyle g=7f$ 이고 $\displaystyle P<0$ 이므로 $\displaystyle |P|=-P$ 입니다.

\lim_{x\to s^-}h'(x)=7f'(s)-P'(s)

$\displaystyle x>s$ 에서는 $\displaystyle f>0$ 이므로 $\displaystyle g=-f$ 이고 $\displaystyle P>0$ 이므로 $\displaystyle |P|=P$ 입니다.

\lim_{x\to s^+}h'(x)=-f'(s)+P'(s)

두 값이 같다고 놓고 $\displaystyle f'(s)$ 와 $\displaystyle P'(s)$ 를 각각 한쪽으로 모읍니다.

7f'(s)-P'(s)=-f'(s)+P'(s)\;\Rightarrow\;8f'(s)=2P'(s)\;\Rightarrow\;P'(s)=4f'(s)

곱을 미분하면 $\displaystyle x=s$ 에서는 $\displaystyle (x-s)$ 가 붙은 항만 남으므로 $\displaystyle f'(s)=(s-r)^2$ , $\displaystyle P'(s)=(s-r_0)^2$ 이고, 다음 식이 나옵니다.

(s-r_0)^2=4(s-r)^2

그림 ③이 그 상쇄 장면입니다.

대표 케이스 $\displaystyle f=(x-2)^2(x-3)$ , $\displaystyle a=1$ 에서 $\displaystyle h=g+|(x-1)^2(x-3)|$ 는 $\displaystyle x=3$ 에서 실제로 매끈해집니다.

이 식에 케이스를 넣습니다. $\displaystyle s=3,\ r_0=1$ 이면 $\displaystyle 4=4(3-r)^2$ 에서 $\displaystyle r=2,\ 4$ 이고, $\displaystyle s=1,\ r_0=2$ 이면 $\displaystyle 1=4(1-r)^2$ 에서 $\displaystyle r=\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{2}$ 입니다.

f(0)=-r^2s=-12,\;\;-48,\;\;-\dfrac{1}{4},\;\;-\dfrac{9}{4}

따라서 최댓값은 $\displaystyle -\dfrac{1}{4}$ , 최솟값은 $\displaystyle -48$ 이고 곱은 다음과 같습니다.

\left(-\dfrac{1}{4}\right)\times(-48)=12

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
(가)로 f=(x−α)²(x−β) 꼴 확정: g 는 단순근 β 에서만 꺾인다(기울기 차 −8|f′(β)|)
단계 B ★★★ ←관문
|삼차| 의 첨점이 β 한 곳뿐이려면 나머지 두 근이 중근: a=2 또는 a∈{1,3}
단계 C ★★★
첨점 상쇄 |P′(β)|=4|f′(β)| 로 α 후보 넷 → f(0)∈{−¼,−9/4,−12,−48}
단계 D ★
최댓값 × 최솟값 = (−¼)(−48)=12

스스로 확인하기

"h가 미분가능하려면 무엇부터 세나?" (A) 양쪽 항이 꺾이는 지점의 개수와 위치 (B) h의 도함수 전체 (C) f의 극값 → (A). 첨점은 단순근에서만 생긴다. 자리가 맞아야 상쇄가 시작된다.

편하고 빠른 풀이

구하는 두 점 A, B는 모두 (가)의 포물선 위에 있으므로, 점 A의 좌표를 $\displaystyle (m,\;n)$ 으로 놓고 시작합니다. 포물선 위의 점이라는 것에서 관계식 하나가 바로 나옵니다.

n=2m^2-\dfrac{7}{2}m+3

대칭 조건이 관계식 하나를 더 줍니다. 점 A를 $\displaystyle (1,\,-1)$ 만큼 옮긴 점 D는 (나)의 로그곡선 위에 있고, 로그곡선을 직선 $\displaystyle y=x-\dfrac{1}{4}$ 에 대칭하면 (가)의 지수곡선으로 돌아옵니다. 그래서 점 D의 대칭점 $\displaystyle \left(n-\dfrac{3}{4},\;m+\dfrac{3}{4}\right)$ 도 곡선 $\displaystyle y=a^x$ 위의 점인데, $\displaystyle y=a^x$ 가 증가하는 곡선이라 이 점은 점 A 자신일 수밖에 없습니다(자세한 근거는 뒤의 해설).

일치를 좌표로 쓰면 다음 관계식이 됩니다.

n=m+\dfrac{3}{4}

포물선 식과 대칭 식, 두 관계식을 연립하면 끝입니다.

2m^2-\dfrac{7}{2}m+3=m+\dfrac{3}{4}\;\Rightarrow\;8m^2-18m+9=0\;\Rightarrow\;m=\dfrac{3}{4},\;\dfrac{3}{2}

그림처럼 점 A와 점 B는 포물선과 직선 $\displaystyle y=x+\dfrac{3}{4}$ 의 두 교점으로 한 번에 나옵니다. $\displaystyle \mathrm{A}\left(\dfrac{3}{4},\;\dfrac{3}{2}\right)$ , $\displaystyle \mathrm{B}\left(\dfrac{3}{2},\;\dfrac{9}{4}\right)$ 입니다.

점 A가 곡선 $\displaystyle y=a^x$ 위에 있으므로 $\displaystyle a^{3/4}=\dfrac{3}{2}$ 이고, $\displaystyle a^3=\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=\dfrac{81}{16}$ 이므로 $\displaystyle p+q=16+81=97$ 입니다.

델타스킬 해설

곡선이 네 개나 되므로 교점을 전부 계산하려 들면 감당이 안 됩니다.

계산에 들어가기 전에 구조부터 봅니다.

대칭 구조 찾기. 곡선 $\displaystyle y=\log_a\left(x-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}$ 은 곡선 $\displaystyle y=a^x$ 를 기울기가 $\displaystyle 1$ 인 직선 $\displaystyle y=x-\dfrac{1}{4}$ 에 대하여 대칭이동한 것입니다.

실제로 곡선 $\displaystyle y=a^x$ 위의 점 $\displaystyle (t,\ a^t)$ 를 이 직선에 대하여 대칭이동하면 $\displaystyle \left(a^t+\dfrac{1}{4},\ t-\dfrac{1}{4}\right)$ 이고, 대입하면 로그곡선 위에 있음이 확인됩니다.

\log_a\left(a^t+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}=t-\dfrac{1}{4}

이제 점 C와 점 D가 점 A, 점 B와 어떻게 짝지어지는지를 정합니다.

(나)의 포물선은 (가)의 포물선을 $\displaystyle (1,\ -1)$ 만큼 평행이동한 것입니다.

2(x-1)^2-\dfrac{7}{2}(x-1)+3-1=2x^2-\dfrac{15}{2}x+\dfrac{15}{2}

점 D와 점 C에서 이 평행이동을 되돌린 점을 각각 $\displaystyle {\rm A}'$ , $\displaystyle {\rm B}'$ 라 하면 두 점은 (가)의 포물선 위에 있습니다.

직사각형 ABCD에서 변 AD와 변 BC는 마주 보는 변이므로 벡터로서 서로 같고, 이는 $\displaystyle {\rm A}'-{\rm A}={\rm B}'-{\rm B}$ 와 같은 말입니다.

그 공통의 벡터를 $\displaystyle (w_1,\ w_2)$ 라 하고, 점 $\displaystyle (x,\ y)$ 와 점 $\displaystyle (x+w_1,\ y+w_2)$ 가 모두 (가)의 포물선 위에 있다고 두면, 두 점을 포물선의 식에 대입해 빼서 다음 식을 얻습니다.

4w_1x+2w_1^2-\dfrac{7}{2}w_1=w_2

$\displaystyle w_1\ne 0$ 이면 이 식이 $\displaystyle x$ 를 하나로 정하므로 두 점 A와 B가 같아져 모순입니다.

따라서 $\displaystyle w_1=0$ 이고 이어서 $\displaystyle w_2=0$ 이므로, 점 D는 점 A를, 점 C는 점 B를 $\displaystyle (1,\ -1)$ 만큼 평행이동한 점입니다.

즉 직사각형의 변 AD와 변 BC가 바로 그 평행이동입니다.

점 D는 로그곡선 위의 점이므로 점 D의 대칭점은 곡선 $\displaystyle y=a^x$ 위에 있습니다.

점 A를 $\displaystyle (u,\ a^u)$ 라 하면 점 D는 $\displaystyle (u+1,\ a^u-1)$ 이고, 그 대칭점은 $\displaystyle \left(a^u-\dfrac{3}{4},\ u+\dfrac{3}{4}\right)$ 입니다.

이 점과 점 A가 모두 증가곡선 $\displaystyle y=a^x$ 위에 있는데 서로 다르다면 두 점을 잇는 직선의 기울기가 $\displaystyle -1$ 이 되어 증가에 어긋납니다.

따라서 그 대칭점은 점 A 자신이고, 점 D는 점 A를 대칭이동한 점입니다.

같은 이유로 점 C는 점 B를 대칭이동한 점입니다.

직사각형 ABCD가 되려면 변 AB가 대칭축과 평행해야 합니다.

즉 직선 AB의 기울기는 $\displaystyle 1$ 입니다.

$\displaystyle x_1+x_2$ 구하기. 두 점 A, B의 $\displaystyle x$ 좌표를 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ 라 합니다.

기울기가 $\displaystyle 1$ 인 직선 $\displaystyle y=x+k$ 와 포물선 $\displaystyle y=2x^2-\dfrac{7}{2}x+3$ 을 연립합니다.

2x^2-\dfrac{7}{2}x+3=x+k

2x^2-\dfrac{9}{2}x+(3-k)=0

근과 계수의 관계에서 두 교점의 $\displaystyle x$ 좌표의 합이 나옵니다.

x_1+x_2=\dfrac{9/2}{2}=\dfrac{9}{4}

$\displaystyle a^{x_1}+a^{x_2}$ 구하기. 대칭이동으로 점 D와 점 C의 좌표를 씁니다.

{\rm D}\left(a^{x_1}+\dfrac{1}{4},\ x_1-\dfrac{1}{4}\right), \quad {\rm C}\left(a^{x_2}+\dfrac{1}{4},\ x_2-\dfrac{1}{4}\right)

직사각형에서 변 DC는 변 AB와 평행하므로 기울기가 $\displaystyle 1$ 입니다.

점 D와 점 C는 포물선 $\displaystyle y=2x^2-\dfrac{15}{2}x+\dfrac{15}{2}$ 위의 점이므로, 같은 방법으로 기울기 $\displaystyle 1$ 인 직선 $\displaystyle y=x+m$ 과 연립합니다.

2x^2-\dfrac{15}{2}x+\dfrac{15}{2}=x+m

2x^2-\dfrac{17}{2}x+\left(\dfrac{15}{2}-m\right)=0

근과 계수의 관계에서 점 D와 점 C의 $\displaystyle x$ 좌표의 합은 $\displaystyle \dfrac{17/2}{2}=\dfrac{17}{4}$ 입니다.

점 D와 점 C의 $\displaystyle x$ 좌표를 대입합니다.

\left(a^{x_1}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(a^{x_2}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{17}{4}

a^{x_1}+a^{x_2}=\dfrac{15}{4}

$\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ 확정. 점 A, B는 포물선 위의 점이기도 하므로, $\displaystyle a^{x_1}$ 과 $\displaystyle a^{x_2}$ 를 $\displaystyle x$ 의 식으로 바꿉니다.

a^{x_1}=2x_1^2-\dfrac{7}{2}x_1+3, \quad a^{x_2}=2x_2^2-\dfrac{7}{2}x_2+3

두 식을 더합니다.

2(x_1^2+x_2^2)-\dfrac{7}{2}(x_1+x_2)+6=\dfrac{15}{4}

$\displaystyle x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$ 를 쓰고 $\displaystyle x_1+x_2=\dfrac{9}{4}$ 를 대입합니다.

2\left(\dfrac{81}{16}-2x_1x_2\right)-\dfrac{7}{2}\times\dfrac{9}{4}+6=\dfrac{15}{4}

\dfrac{81}{8}-4x_1x_2-\dfrac{63}{8}+\dfrac{48}{8}=\dfrac{30}{8}

x_1x_2=\dfrac{9}{8}

합과 곱을 알았으므로 $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ 는 다음 이차방정식의 두 근입니다.

t^2-\dfrac{9}{4}t+\dfrac{9}{8}=0 \quad\rightarrow\quad 8t^2-18t+9=0 \quad\rightarrow\quad (2t-3)(4t-3)=0

따라서 $\displaystyle x_1=\dfrac{3}{4}$ , $\displaystyle x_2=\dfrac{3}{2}$ 입니다.

$\displaystyle a$ 확정. 직선 AB의 기울기가 $\displaystyle 1$ 이라는 조건을 지수곡선 위에서 씁니다.

\dfrac{a^{3/2}-a^{3/4}}{\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{4}}=1 \quad\rightarrow\quad a^{3/2}-a^{3/4}=\dfrac{3}{4}

$\displaystyle s=a^{3/4}$ 로 치환합니다.

s^2-s-\dfrac{3}{4}=0 \quad\rightarrow\quad 4s^2-4s-3=0 \quad\rightarrow\quad (2s-3)(2s+1)=0

$\displaystyle s>0$ 이므로 $\displaystyle s=\dfrac{3}{2}$ 입니다.

따라서 다음과 같습니다.

a^3=s^4=\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=\dfrac{81}{16}

$\displaystyle p=16$ , $\displaystyle q=81$ 은 서로소이므로 $\displaystyle p+q=97$ 입니다.

답 97

해설 2 — 그래프로 읽기

네 점을 좌표평면에 실제로 찍으면 두 조건이 하나의 대칭으로 접힙니다.

먼저 두 곡선의 정체를 확인합니다.

$\displaystyle y=\log_a\!\left(x-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}$ 는 $\displaystyle y=a^x$ 를 직선 $\displaystyle y=x-\dfrac{1}{4}$ 에 대칭한 곡선입니다.

또 (나)의 포물선은 (가)의 포물선을 $\displaystyle (1,-1)$ 만큼 평행이동한 것입니다.

2(x-1)^2-\dfrac{7}{2}(x-1)+3-1=2x^2-\dfrac{15}{2}x+\dfrac{15}{2}

이 평행이동을 D와 C에서 되돌린 두 점을 각각 $\displaystyle {\rm A}'$ , $\displaystyle {\rm B}'$ 라 하면 두 점은 (가)의 포물선 위에 있습니다.

직사각형 ABCD에서 변 AD와 변 BC는 마주 보는 변이므로 벡터로서 서로 같고, 이는 $\displaystyle {\rm A}'-{\rm A}={\rm B}'-{\rm B}$ 와 같은 말입니다.

그 공통의 벡터를 $\displaystyle (w_1,\ w_2)$ 라 두고, 점 $\displaystyle (x,\ y)$ 와 점 $\displaystyle (x+w_1,\ y+w_2)$ 가 모두 (가)의 포물선 위에 있다고 두면, 두 점을 포물선의 식에 대입해 빼서 다음 식을 얻습니다.

4w_1x+2w_1^2-\dfrac{7}{2}w_1=w_2

$\displaystyle w_1\ne 0$ 이면 이 식이 $\displaystyle x$ 를 하나로 정하므로 A와 B가 같은 점이 되어 모순입니다.

따라서 $\displaystyle w_1=0$ 이고 이어서 $\displaystyle w_2=0$ 입니다.

즉 D는 A를, C는 B를 $\displaystyle (1,-1)$ 만큼 평행이동한 점이고, 직사각형에서 변 AD와 변 BC가 바로 그 이동입니다.

핵심 장면은 여기입니다.

D는 로그곡선 위의 점인데, 로그곡선은 지수곡선의 대칭이므로 D의 대칭점은 다시 $\displaystyle y=a^x$ 위에 있어야 합니다.

점 A를 $\displaystyle (u,\ v)$ 라 하면 점 D는 $\displaystyle (u+1,\ v-1)$ 이고, 직선 $\displaystyle y=x-\dfrac{1}{4}$ 에 대한 대칭은 $\displaystyle (x,\ y)$ 를 $\displaystyle \left(y+\dfrac{1}{4},\ x-\dfrac{1}{4}\right)$ 로 보내므로 점 D의 대칭점은 $\displaystyle \left(v-\dfrac{3}{4},\ u+\dfrac{3}{4}\right)$ 입니다.

이 점과 A가 모두 증가곡선 $\displaystyle y=a^x$ 위에 있는데, 두 점이 다르면 잇는 기울기가 $\displaystyle -1$ 이 되어 증가에 모순입니다.

즉 두 점은 일치해야 하고, 다음을 얻습니다.

v=u+\dfrac{3}{4}

따라서 A와 B는 기울기 $\displaystyle 1$ 인 직선 $\displaystyle y=x+\dfrac{3}{4}$ 위에 있고, 그림처럼 변 AB와 변 AD $\displaystyle (1,-1)$ 가 수직인 직사각형이 완성됩니다.

이제 A, B는 포물선과 이 직선의 교점입니다.

2x^2-\dfrac{7}{2}x+3=x+\dfrac{3}{4}\;\Rightarrow\;8x^2-18x+9=0\;\Rightarrow\;x=\dfrac{3}{4},\;\dfrac{3}{2}

두 점이 $\displaystyle y=a^x$ 위에 있으므로 다음이 성립합니다.

a^{3/4}=\dfrac{3}{2}

따라서 $\displaystyle a^3=\left(a^{3/4}\right)^4=\left(\dfrac{3}{2}\right)^4=\dfrac{81}{16}$ 이고, $\displaystyle p+q=16+81=97$ 입니다.

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
로그곡선이 지수곡선의 직선 y=x−¼ 대칭임을 확인한다(¼,−¼ 평행이동)
단계 B ★★★ ←관문
직사각형이 되려면 AB∥대칭축: 두 현의 기울기가 1
단계 C ★★★
포물선 현 기울기 1: x₁+x₂=9/4, 대칭된 현에서 a^{x₁}+a^{x₂}=15/4 → x₁x₂=9/8
단계 D ★★
x=¾,3/2 와 a^{3/2}−a^{3/4}=¾ 로 a^{3/4}=3/2 → a³=81/16, p+q=97

스스로 확인하기

"곡선이 넷이라 교점 계산이 폭발한다. 먼저 볼 구조는?" (A) 두 쌍이 한 직선에 대한 대칭 관계인지 (B) 네 곡선의 교점을 전부 계산 (C) a에 수치를 대입해 시도 → (A). 대칭을 보면 미지수가 현의 기울기 하나로 준다.

델타스킬 해설

"~이거나"가 있으므로 두 사건의 합집합입니다.

전체 경우의 수는 $\displaystyle 6\times 6=36$ 가지입니다.

먼저 $\displaystyle a\le 3$ 인 경우는 $\displaystyle 3\times 6=18$ 가지입니다.

남은 것은 $\displaystyle a\ge 4$ 이면서 $\displaystyle a\times b$ 가 $\displaystyle 8$ 의 배수인 경우입니다.

$\displaystyle a\le 3$ 인 경우는 이미 세었으므로, 이렇게 나누면 겹치지 않습니다.

$\displaystyle a=4$ 이면 $\displaystyle 4b$ 가 $\displaystyle 8$ 의 배수가 되려면 $\displaystyle b$ 가 짝수여야 하므로 $\displaystyle b=2,4,6$ 의 $\displaystyle 3$ 가지입니다.

$\displaystyle a=5$ 이면 $\displaystyle 5b$ 는 $\displaystyle b\le 6$ 에서 $\displaystyle 8$ 의 배수가 될 수 없으므로 $\displaystyle 0$ 가지입니다.

$\displaystyle a=6$ 이면 $\displaystyle 6b$ 가 $\displaystyle 8$ 의 배수가 되려면 $\displaystyle 3b$ 가 $\displaystyle 4$ 의 배수여야 하므로 $\displaystyle b=4$ 의 $\displaystyle 1$ 가지입니다.

따라서 경우의 수는 $\displaystyle 18+3+0+1=22$ 가지입니다.

\dfrac{22}{36}=\dfrac{11}{18}

답 ② $\displaystyle \dfrac{11}{18}$

델타스킬 해설

정규분포 문제는 표준화가 풀이의 출발입니다.

$\displaystyle X$ 가 정규분포 $\displaystyle {\rm N}(1,\ \sigma^2)$ 을 따르므로 $\displaystyle Z=\dfrac{X-1}{\sigma}$ 로 바꿉니다.

주어진 구간은 다음과 같이 바뀝니다.

\left[\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\sigma},\ \ 2-\dfrac{1}{\sigma}\right]

구간의 폭이 $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ 로 고정되어 있다는 점을 눈여겨봅니다.

표에서 폭 $\displaystyle 0.5$ 짜리 구간의 확률이 $\displaystyle 0.044$ 가 되는 곳을 찾습니다.

0.4772-0.4332=0.044

즉 구간 $\displaystyle [1.5,\ 2]$ 가 조건에 맞습니다.

그런데 $\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\sigma}=1.5$ 이려면 $\displaystyle \dfrac{1}{\sigma}=0$ 이 되어야 하므로 불가능합니다.

정규분포의 대칭을 쓰면 구간 $\displaystyle [-2,\ -1.5]$ 도 확률이 같습니다.

\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\sigma}=-2 \quad\rightarrow\quad \dfrac{1}{\sigma}=\dfrac{7}{2} \quad\rightarrow\quad \sigma=\dfrac{2}{7}

오른쪽 끝을 확인하면 $\displaystyle 2-\dfrac{7}{2}=-1.5$ 로 정확히 맞습니다.

이제 구하는 확률을 계산합니다.

{\rm P}\left(X\ge\dfrac{10}{7}\right)={\rm P}\left(Z\ge\dfrac{10/7-1}{2/7}\right)={\rm P}(Z\ge 1.5)

=0.5-0.4332=0.0668

답 ③ 0.0668

델타스킬 해설

구하는 것은 조건부확률이고, 분모와 분자 모두 경우의 수 세기로 갑니다.

눈 네 개의 배열 $\displaystyle 6^4=1296$ 가지를 다 볼 수는 없으므로, 배열을 실제로 바꾸는 눈만 남긴 상태 그림을 그리는 것이 풀이의 출발입니다.

시작 배열 AAABBB에서 눈 $\displaystyle 1$ 과 $\displaystyle 2$ 는 A끼리, 눈 $\displaystyle 4$ 와 $\displaystyle 5$ 는 B끼리 바꾸므로 배열이 그대로입니다.

눈 $\displaystyle 6$ 도 배열을 바꾸지 않습니다.

배열을 바꾸는 눈은 A와 B가 만나는 경계인 눈 $\displaystyle 3$ 하나뿐입니다.

눈 $\displaystyle 3$ 이 나오면 배열이 AABABB로 바뀝니다.

바뀐 배열 AABABB에서 다시 세면, 배열을 그대로 두는 눈은 $\displaystyle 1, 5, 6$ 의 세 개이고 바꾸는 눈은 $\displaystyle 2, 3, 4$ 입니다.

상태마다 "그대로인 눈의 개수"가 다르다는 것이 이 문제에서 갈리는 지점입니다.

매번 $\displaystyle 5$ 개로 세면 조용히 틀립니다.

4번 만에 처음 배열로 돌아오려면, 배열을 바꾼 시행이 $\displaystyle 0$ 번, $\displaystyle 2$ 번, $\displaystyle 4$ 번 중 하나여야 합니다.

바꾼 시행이 $\displaystyle 0$ 번인 경우는 네 번 모두 그대로인 눈이 나온 것이므로 $\displaystyle 5^4=625$ 가지입니다.

바꾼 시행이 $\displaystyle 2$ 번인 경우, 바꾼 두 번은 반드시 "바꾸었다가 되돌리기"입니다.

그 두 시행의 위치에 따라, 나머지 시행이 처음 배열에서 던져지는지(그대로인 눈 $\displaystyle 5$ 가지) 바뀐 배열에서 던져지는지(그대로인 눈 $\displaystyle 3$ 가지)가 달라집니다.

두 시행의 위치 여섯 가지를 하나씩 세면 $\displaystyle 25+15+9+25+15+25=114$ 가지입니다.

바꾼 시행이 $\displaystyle 4$ 번인 경우는 상태 그림을 따라가면 $\displaystyle 3$ 가지입니다.

따라서 분모는 $\displaystyle 625+114+3=742$ 가지입니다.

분자는 $\displaystyle 3$ 번째 시행의 눈이 $\displaystyle 6$ 인 경우입니다.

눈 $\displaystyle 6$ 은 배열을 바꾸지 않으므로, 나머지 세 번의 시행으로 처음 배열에 돌아와야 합니다.

같은 방법으로 세면 $\displaystyle 5^3+13=138$ 가지입니다.

따라서 구하는 확률은 다음과 같습니다.

\dfrac{138}{742}=\dfrac{69}{371}

답 ⑤ $\displaystyle \dfrac{69}{371}$

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
배열을 실제로 바꾸는 눈만 남긴 상태 그림을 그린다. 시작 배열에서는 눈 3뿐, 한 번 꼬인 배열에서는 눈 2·3·4
단계 B ★★★ ←관문
복귀 = 배열을 바꾸는 시행이 0·2·4회임을 보고, 상태마다 '그대로인 눈의 개수'(5개/3개)를 센다
단계 C ★★
분모 625+114+3=742, 분자(3번째 눈 6 고정 → 세 시행 복귀) 125+13=138 → 69/371

스스로 확인하기

"네 번 만에 제자리로 오는 경우를 세는데 가짓수가 많아 보인다. 먼저 할 일은?" (A) 배열이 실제로 바뀌는 눈만 남긴 상태 그림을 그린다 (B) 1296가지 눈 배열을 다 나열한다 (C) 같은 것이 있는 순열 공식을 쓴다 → (A). 시작 배열에서 배열을 바꾸는 눈은 3 하나뿐이라 그림이 아주 작다.

델타스킬 해설

합이 $\displaystyle 14$ 로 고정된 자연수 순서쌍을 세는데, 조건 (나)에 부등식이 둘 붙어 있습니다.

$\displaystyle c<d^2$ 을 정면으로 세면 $\displaystyle d$ 마다 $\displaystyle c$ 의 범위가 달라 갈래가 흩어집니다.

위반하는 경우가 훨씬 좁으므로 여사건으로 뒤집는 것이 풀이의 출발입니다.

전체부터 셉니다.

$\displaystyle a+b+c+d=14$ 의 자연수 해는 $\displaystyle \dbinom{13}{3}=286$ 개입니다.

위반 ①. $\displaystyle 10a<d$ 인 경우.

$\displaystyle a\ge 1$ 이면 $\displaystyle 10a\ge 10$ 인데, 나머지 세 수가 $\displaystyle 1$ 씩은 가져야 하므로 $\displaystyle d$ 는 최대 $\displaystyle 11$ 입니다.

따라서 $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle d=11$ 뿐이고, 그때 $\displaystyle b+c=2$ 에서 $\displaystyle b=c=1$ 입니다.

즉 $\displaystyle (1,1,1,11)$ 의 $\displaystyle 1$ 개입니다.

위반 ②. $\displaystyle c\ge d^2$ 인 경우.

합이 $\displaystyle 14$ 이므로 $\displaystyle d\ge 4$ 이면 $\displaystyle d^2\ge 16$ 이 되어 $\displaystyle c$ 가 감당할 수 없습니다.

따라서 $\displaystyle d$ 는 $\displaystyle 1, 2, 3$ 만 가능합니다.

$\displaystyle d=1$ 이면 $\displaystyle c\ge 1$ 은 자동이므로, $\displaystyle a+b+c=13$ 의 자연수 해 $\displaystyle \dbinom{12}{2}=66$ 개입니다.

$\displaystyle d=2$ 이면 $\displaystyle a+b+c=12$ 에서 $\displaystyle c\ge 4$ 이므로, $\displaystyle c$ 에서 $\displaystyle 3$ 을 미리 떼면 $\displaystyle a+b+c'=9$ 의 해 $\displaystyle \dbinom{8}{2}=28$ 개입니다.

$\displaystyle d=3$ 이면 $\displaystyle a+b+c=11$ 에서 $\displaystyle c\ge 9$ 이므로 $\displaystyle (1,1,9,3)$ 의 $\displaystyle 1$ 개뿐입니다.

합하면 $\displaystyle 66+28+1=95$ 개입니다.

겹침 확인. 위반 ①의 $\displaystyle (1,1,1,11)$ 은 $\displaystyle c=1<d^2=121$ 이므로 위반 ②에 속하지 않습니다.

겹침이 $\displaystyle 0$ 이므로 구하는 개수는 다음과 같습니다.

286-1-95=190

답 190

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★
자연수 분배로 전체 순서쌍 C(13,3)=286 을 잡는다
단계 B ★★
여사건 첫째: 10a<d 는 a=1·d=11 뿐 → (1,1,1,11) 단 1개
단계 C ★★★ ←관문
여사건 둘째: c≥d² 를 d=1·2·3 으로 가른다(d≥4는 d²≥16>13 불가) → 66+28+1=95
단계 D ★
두 위반의 겹침 0 확인 후 286−1−95=190

스스로 확인하기

"c<d² 를 만족하는 경우를 직접 세려니 d마다 c의 범위가 다 다르다. 먼저 할 일은?" (A) 여사건 c≥d² 로 뒤집는다. d²≤13 이라 d는 1·2·3뿐 (B) d를 1부터 11까지 전부 나눠 센다 (C) c 값으로 경우를 나눈다 → (A). 부등식의 방향을 뒤집으면 살아남는 d가 몇 개 없다.

델타스킬 해설

식이 복잡해 보이지만 시그마 안을 봅니다.

확률에 값을 곱해 더하는 꼴이므로 이것은 기댓값의 정의입니다.

확률 열 개를 하나하나 구하라는 문제가 아닙니다.

먼저 조건을 번역합니다.

다섯 번 뽑은 수의 평균 $\displaystyle \overline{X}$ 가 $\displaystyle \dfrac{k}{5}$ 라는 것은, 다섯 수의 합 $\displaystyle S$ 가 $\displaystyle k$ 라는 뜻입니다.

합 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle 0$ 부터 $\displaystyle 10$ 까지 가능하고, $\displaystyle k=0$ 인 항은 $\displaystyle 0^2$ 이 곱해져 $\displaystyle 0$ 입니다.

따라서 주어진 합은 정확히 다음과 같습니다.

\sum_{k=0}^{10}k^2\,{\rm P}(S=k)=E(S^2)

$\displaystyle E(S^2)$ 은 분산 공식을 거꾸로 쓰면 됩니다.

E(S^2)=V(S)+\{E(S)\}^2

공 하나를 뽑을 때의 평균과 분산을 구합니다.

E(X)=\dfrac{0+1+2}{3}=1, \quad E(X^2)=\dfrac{0+1+4}{3}=\dfrac{5}{3}

V(X)=\dfrac{5}{3}-1^2=\dfrac{2}{3}

복원추출 다섯 번은 독립이므로 합에 대하여 다음이 성립합니다.

E(S)=5\times 1=5, \quad V(S)=5\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{3}

따라서 다음과 같습니다.

a=E(S^2)=\dfrac{10}{3}+5^2=\dfrac{85}{3}

6\times a=6\times\dfrac{85}{3}=170

시그마가 기댓값의 정의와 같은 꼴임을 본 순간 계산이 세 줄로 줄어듭니다.

답 170

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★
X̄=k/5 를 '5회 합 S=k' 로 번역한다. 평균의 분포는 합의 분포다
단계 B ★★★ ←관문
Σ_{k=1}^{10} k²P(S=k) 가 기댓값의 정의 그대로 E(S²) 임을 알아본다
단계 C ★★
E(S²)=V(S)+{E(S)}²: 공 하나 V=2/3 → V(S)=10/3, E(S)=5 → a=85/3, 6a=170

스스로 확인하기

"Σ k²·P 를 k=1부터 10까지 직접 더하려니 확률 10개를 다 구해야 한다. 먼저 볼 것은?" (A) 이 합이 E(S²)=V(S)+{E(S)}² 임을 본다 (B) 이항정리로 전개한다 (C) P(S=k) 를 표로 만든다 → (A). 시그마가 기댓값의 정의와 같은 꼴이면 계산이 공식 한 줄로 접힌다.

델타스킬 해설

넓이 문제는 세 가지만 정하면 계산입니다.

경계 곡선, 구간, 위아래입니다.

먼저 접선을 구합니다.

y'=-\dfrac{2(2x+1)}{(x^2+x)^2}

점 $\displaystyle (1,1)$ 에서 기울기는 $\displaystyle -\dfrac{2\times 3}{2^2}=-\dfrac{3}{2}$ 이므로 접선은 다음과 같습니다.

l:\ y=-\dfrac{3}{2}(x-1)+1=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}

구간은 접점 $\displaystyle x=1$ 부터 직선 $\displaystyle x=2$ 까지입니다.

위아래는 한 점만 확인하면 됩니다.

$\displaystyle x=2$ 에서 곡선의 값은 $\displaystyle \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ , 직선의 값은 $\displaystyle -3+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{1}{2}$ 이므로 곡선이 위입니다.

곡선의 적분은 부분분수로 계산합니다.

\dfrac{2}{x^2+x}=\dfrac{2}{x(x+1)}=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+1}

\int_{1}^{2}\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x+1}\right)dx=\Big[2\ln x-2\ln(x+1)\Big]_{1}^{2}=2\ln\dfrac{2}{3}-2\ln\dfrac{1}{2}=2\ln\dfrac{4}{3}

직선의 적분을 계산합니다.

\int_{1}^{2}\left(-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}\right)dx=\left[-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{5}{2}x\right]_{1}^{2}=(-3+5)-\left(-\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{1}{4}

따라서 구하는 넓이는 다음과 같습니다.

2\ln\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{4}

답 ② $\displaystyle 2\ln\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{4}$

델타스킬 해설

합성함수 $\displaystyle h(x)=g(f(x))$ 의 미분이므로 뼈대는 다음과 같습니다.

h'(1)=g'(f(1))\times f'(1)

$\displaystyle \ln 1=0$ 이므로 $\displaystyle f(1)=0$ 입니다.

f'(x)=\dfrac{3(\ln x)^2-3}{x}, \quad f'(1)=-3

남은 것은 $\displaystyle g'(0)$ 하나입니다.

여기가 이 문제의 갈림길입니다.

$\displaystyle f(1)=0$ 이므로 관계식에 $\displaystyle t=1$ 을 넣고 싶어지지만, 관계식 $\displaystyle g(f(t))=t^2$ 은 $\displaystyle t\ge e$ 에서만 성립합니다.

$\displaystyle t=1$ 은 그 범위 밖이므로 쓸 수 없습니다.

$\displaystyle g'(0)$ 을 얻으려면 $\displaystyle t\ge e$ 범위에서 $\displaystyle f(t)=0$ 이 되는 $\displaystyle t$ 를 찾아야 합니다.

$\displaystyle u=\ln t$ 로 놓으면 $\displaystyle f(t)=u^3-3u=u(u^2-3)$ 입니다.

$\displaystyle t\ge e$ 는 $\displaystyle u\ge 1$ 이므로 근은 $\displaystyle u=\sqrt{3}$ , 즉 $\displaystyle t_0=e^{\sqrt{3}}$ 뿐입니다.

관계식을 $\displaystyle t$ 로 미분합니다.

g'(f(t))\,f'(t)=2t

$\displaystyle t=t_0$ 을 대입하면 $\displaystyle f(t_0)=0$ 이므로 다음과 같습니다.

g'(0)=\dfrac{2t_0}{f'(t_0)}

f'(t_0)=\dfrac{3\times 3-3}{e^{\sqrt{3}}}=6e^{-\sqrt{3}}

g'(0)=\dfrac{2e^{\sqrt{3}}}{6e^{-\sqrt{3}}}=\dfrac{e^{2\sqrt{3}}}{3}

따라서 다음과 같습니다.

h'(1)=\dfrac{e^{2\sqrt{3}}}{3}\times(-3)=-e^{2\sqrt{3}}

답 ⑤ $\displaystyle -e^{2\sqrt{3}}$

델타스킬 해설

넓이 $\displaystyle t$ 와 각 $\displaystyle \angle{\rm OPQ}$ 를 직접 잇는 식은 없습니다.

이럴 때는 둘을 함께 만들어 내는 제3의 변수를 세우는 것이 풀이의 출발입니다.

그림에서 자연스러운 것은 중심각 $\displaystyle \alpha=\angle{\rm AOP}$ 입니다.

문제가 $\displaystyle f(t)$ 를 미분가능한 함수라고 보증해 주므로, 매개변수 미분으로 갈 수 있습니다.

f'(t)=\dfrac{d\theta/d\alpha}{dt/d\alpha}

1단계. 넓이를 $\displaystyle \alpha$ 로 나타냅니다.

주어진 도형은 삼각형 OAP에서 부채꼴 OBP를 뺀 것입니다.

t=\dfrac{1}{2}\times 5\times 2\times\sin\alpha-\dfrac{1}{2}\times 2^2\times\alpha=5\sin\alpha-2\alpha

2단계. 각 $\displaystyle \theta=\angle{\rm OPQ}$ 를 $\displaystyle \alpha$ 와 잇습니다.

세 점 A, P, Q가 한 직선 위에 있으므로 $\displaystyle \angle{\rm OPA}=\pi-\theta$ 입니다.

삼각형 OPA에서 $\displaystyle \angle{\rm POA}=\alpha$ , $\displaystyle \angle{\rm OPA}=\pi-\theta$ 이므로 $\displaystyle \angle{\rm OAP}=\theta-\alpha$ 입니다.

사인법칙을 씁니다.

\dfrac{2}{\sin(\theta-\alpha)}=\dfrac{5}{\sin(\pi-\theta)}

5\sin(\theta-\alpha)=2\sin\theta

3단계. 주어진 순간의 $\displaystyle \alpha$ 를 확정합니다.

$\displaystyle \tan\theta=\dfrac{3}{2}$ 이면 $\displaystyle \sin\theta=\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ , $\displaystyle \cos\theta=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ 입니다.

관계식을 전개해 값을 넣습니다.

5(\sin\theta\cos\alpha-\cos\theta\sin\alpha)=2\sin\theta

\dfrac{15\cos\alpha-10\sin\alpha}{\sqrt{13}}=\dfrac{6}{\sqrt{13}}

15\cos\alpha-10\sin\alpha=6

$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ 과 연립하면 $\displaystyle \cos\alpha=\dfrac{4}{5}$ , $\displaystyle \sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ 만 남습니다.

다른 근은 $\displaystyle \sin\alpha<0$ 이 되어 그림의 상황에 맞지 않습니다.

4단계. 미분의 비를 만듭니다.

관계식 $\displaystyle 5\sin(\theta-\alpha)=2\sin\theta$ 의 양변을 $\displaystyle \alpha$ 로 미분합니다.

5\cos(\theta-\alpha)\left(\dfrac{d\theta}{d\alpha}-1\right)=2\cos\theta\,\dfrac{d\theta}{d\alpha}

\dfrac{d\theta}{d\alpha}=\dfrac{5\cos(\theta-\alpha)}{5\cos(\theta-\alpha)-2\cos\theta}

값을 대입합니다.

5\cos(\theta-\alpha)=5(\cos\theta\cos\alpha+\sin\theta\sin\alpha)=5\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\times\dfrac{4}{5}+\dfrac{3}{\sqrt{13}}\times\dfrac{3}{5}\right)=\dfrac{17}{\sqrt{13}}

2\cos\theta=\dfrac{4}{\sqrt{13}}

\dfrac{d\theta}{d\alpha}=\dfrac{17/\sqrt{13}}{17/\sqrt{13}-4/\sqrt{13}}=\dfrac{17}{13}

넓이의 변화율도 계산합니다.

\dfrac{dt}{d\alpha}=5\cos\alpha-2=5\times\dfrac{4}{5}-2=2

따라서 구하는 값은 다음과 같습니다.

f'(k)=\dfrac{d\theta/d\alpha}{dt/d\alpha}=\dfrac{17/13}{2}=\dfrac{17}{26}

$\displaystyle t$ 에서 $\displaystyle \alpha$ 를 역으로 풀어내려 하면 막힙니다.

매개변수를 그대로 두고 미분의 비로 가는 것이, 문제가 "미분가능"이라는 말로 열어 둔 길입니다.

답 ④ $\displaystyle \dfrac{17}{26}$

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
중심각 α=∠AOP 로 그림을 잡고 t = △OAP − 부채꼴 OBP = 5sinα − 2α 를 만든다
단계 B ★★★ ←관문
△OPA 에서 ∠OPA=π−θ 로 사인법칙: 5sin(θ−α)=2sinθ: θ와 α를 잇는 관계식
단계 C ★★
tanθ=3/2 를 넣고 sin²α+cos²α=1 과 연립해 cosα=4/5, sinα=3/5 확정
단계 D ★★★
f'(t)=dθ/dt=(dθ/dα)/(dt/dα): 관계식을 α로 미분해 17/26

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"f'(k) 를 구해야 하는데 t와 θ 사이의 식이 안 보인다. 먼저 할 일은?" (A) 중심각 α를 매개로 t(α)·θ(α) 둘 다 표현한다 (B) t를 θ의 식으로 직접 적분해 나타낸다 (C) 그림에서 어림해 기울기를 잰다 → (A). 미분가능하다고 문제가 보증하므로 매개변수 미분법이 그대로 통한다.

델타스킬 해설

$\displaystyle b_n$ 의 정의가 $\displaystyle |a_n|\ge 10$ 인지 아닌지로 갈라져 있습니다.

식부터 세우지 말고, 몇 번째 항까지 $\displaystyle 10$ 이상인지의 경우 나누기부터 확정해야 합니다.

$\displaystyle b_2$ , $\displaystyle b_3$ 이 어느 식인지 모르는 채로 조건 (가)를 쓸 수는 없기 때문입니다.

큰 그림. $\displaystyle a_1>0$ , $\displaystyle a_2<0$ 이므로 공비 $\displaystyle r$ 는 음수입니다.

급수가 수렴하므로 $\displaystyle |r|<1$ 이어야 합니다.

그러면 $\displaystyle |a_n|=a_1|r|^{n-1}$ 은 줄어들기만 하므로, $\displaystyle |a_n|\ge 10$ 인 항은 앞쪽 몇 개뿐입니다.

그 개수를 $\displaystyle m$ 이라 합니다.

$\displaystyle m$ 확정. 경우를 하나씩 지웁니다.

$\displaystyle m=0$ 이면 모든 $\displaystyle b_n=a_n^2$ 이고, 조건 (가)에서 $\displaystyle a_1^4r^4=36a_1^2r^4$ , 즉 $\displaystyle a_1=6$ 이 강제되는데, 합 조건까지 가면 $\displaystyle 1-r^2=3$ 이 되어 $\displaystyle r^2$ 이 음수가 되므로 모순입니다.

$\displaystyle m=1$ 이면 $\displaystyle b_2=a_2^2$ , $\displaystyle b_3=a_3^2$ 으로 같은 계산이 되어 $\displaystyle a_1=6$ 인데, $\displaystyle m=1$ 은 $\displaystyle |a_1|\ge 10$ 을 요구하므로 모순입니다.

$\displaystyle m\ge 3$ 이면 $\displaystyle (b_2)^2=\{a_1(r-1)\}^2>0$ 인데 $\displaystyle 36b_3=36a_1(r^2-1)<0$ 이므로 부호 모순입니다.

따라서 $\displaystyle m=2$ 입니다.

식 세우기. $\displaystyle m=2$ 이므로 다음과 같습니다.

b_1=a_1-a_1=0, \quad b_2=a_2-a_1=a_1(r-1), \quad b_3=a_3^2=a_1^2r^4

조건 (가)에 대입합니다.

\{a_1(r-1)\}^2=36a_1^2r^4

(1-r)^2=36r^4

$\displaystyle r<0$ 이므로 $\displaystyle 1-r>0$ 이고, 양변 모두 양수이므로 제곱근을 취합니다.

1-r=6r^2

6r^2+r-1=0 \quad\rightarrow\quad (3r-1)(2r+1)=0

공비가 음수이므로 $\displaystyle r=-\dfrac{1}{2}$ 입니다.

조건 (나). 급수를 계산합니다.

\sum_{n=1}^{\infty}b_n=0+a_1\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)+\sum_{n=3}^{\infty}a_n^2=-\dfrac{3}{2}a_1+\dfrac{a_1^2r^4}{1-r^2}

=-\dfrac{3}{2}a_1+\dfrac{a_1^2\times\dfrac{1}{16}}{\dfrac{3}{4}}=-\dfrac{3}{2}a_1+\dfrac{a_1^2}{12}=12

정리합니다.

a_1^2-18a_1-144=0 \quad\rightarrow\quad (a_1-24)(a_1+6)=0

$\displaystyle a_1>0$ 이므로 $\displaystyle a_1=24$ 입니다.

검산. $\displaystyle |a_1|=24\ge 10$ , $\displaystyle |a_2|=12\ge 10$ , $\displaystyle |a_3|=6<10$ 으로 $\displaystyle m=2$ 와 맞습니다.

$\displaystyle b_2=-36$ , $\displaystyle b_3=36$ 이므로 조건 (가)는 $\displaystyle (-36)^2=1296=36\times 36$ 으로 성립합니다.

급수도 $\displaystyle 0-36+48=12$ 로 성립합니다.

구하는 값을 계산합니다.

a_4=24\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3=-3, \quad a_6=24\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^5=-\dfrac{3}{4}

36\times a_4\times a_6=36\times(-3)\times\left(-\dfrac{3}{4}\right)=81

답 81

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★★
a₁>0·a₂<0 → r<0, 급수 수렴 → |r|<1: |aₙ| 이 줄어드는 등비임을 확정한다
단계 B ★★★ ←관문
bₙ 의 정의가 |aₙ|≥10 에서 갈라지므로 '몇 번째 항까지 10 이상인가'로 경우를 가른다. 0·1항이면 (가)가 a₁=6 을 강제해 모순, 3항 이상이면 (가)의 좌우 부호가 모순
단계 C ★★
딱 2항 생존: (가) a₁²(1−r)²=36a₁²r⁴ → 6r²+r−1=0 → r=−1/2
단계 D ★★
(나) b₁+b₂+Σ_{n≥3}aₙ² = −(3/2)a₁+a₁²/12=12 → a₁=24 → 36a₄a₆=36(−3)(−¾)=81

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"(b₂)²=36b₃ 을 쓰려는데 b₂·b₃ 이 어느 식인지 모르겠다. 먼저 할 일은?" (A) |a₂|·|a₃| 이 10 이상인지로 경우를 가른다 (B) 둘 다 (aₙ)² 로 놓고 푼다 (C) 둘 다 aₙ−a₁ 로 놓고 푼다 → (A). 정의가 갈리는 문제는 갈림 조건부터 처리해야 식을 잡을 수 있다.

델타스킬 해설

적분이 두 개인데 둘 다 지수에 $\displaystyle \cos$ 이 들어 있어 낱개로는 계산되지 않습니다.

이런 문제는 처음부터 합에서 서로 지워지도록 설계된 것이므로, 소거가 일어날 모양을 찾으며 갑니다.

준비. 지수부를 $\displaystyle u(x)=2x+\dfrac{1}{2}\cos\pi x$ 라 하면 도함수는 다음과 같습니다.

u'(x)=2-\dfrac{\pi}{2}\sin\pi x>0 \quad\left(\because\ \dfrac{\pi}{2}<2\right)

따라서 $\displaystyle f$ 는 증가함수이고 $\displaystyle g$ 는 $\displaystyle f$ 의 역함수입니다.

둘째 적분. $\displaystyle x=f(t)$ 로 치환합니다.

$\displaystyle g(x)=t$ 이고 $\displaystyle g'(x)dx=dt$ 이므로 다음과 같습니다.

\int_{f(0)}^{f(2)}\dfrac{2^{4g(x)}g'(x)}{x}dx=\int_{0}^{2}\dfrac{2^{4t}}{f(t)}dt=\int_{0}^{2}2^{2t-\frac{1}{2}\cos\pi t}dt

이 값을 $\displaystyle J$ 라 부릅니다.

지수의 $\displaystyle \cos$ 부호가 $\displaystyle f$ 와 반대가 된 것을 눈여겨봅니다.

첫째 적분. 역함수의 정적분 공식을 씁니다.

\int_{f(1)}^{f(3)}g(x)dx=3f(3)-1\times f(1)-\int_{1}^{3}f(t)dt

여기서 $\displaystyle \displaystyle\int_{1}^{3}f(t)dt$ 를 $\displaystyle t=s+1$ 로 치환해 한 칸 평행이동합니다.

\cos(\pi s+\pi)=-\cos\pi s, \quad 2^{2(s+1)}=4\times 2^{2s}

\int_{1}^{3}f(t)dt=\int_{0}^{2}2^{2s+2-\frac{1}{2}\cos\pi s}ds=4\int_{0}^{2}2^{2s-\frac{1}{2}\cos\pi s}ds=4J

계산되지 않던 두 적분이 사실은 같은 것이었습니다.

합치기. 주어진 식에 대입합니다.

\dfrac{1}{4}\int_{f(1)}^{f(3)}g(x)dx+J=\dfrac{3}{4}f(3)-\dfrac{1}{4}f(1)-J+J=\dfrac{3}{4}f(3)-\dfrac{1}{4}f(1)

끝값을 계산합니다.

f(3)=2^{6+\frac{1}{2}\cos 3\pi}=2^{\frac{11}{2}}, \quad f(1)=2^{2+\frac{1}{2}\cos\pi}=2^{\frac{3}{2}}

\dfrac{3}{4}\times 2^{\frac{11}{2}}-\dfrac{1}{4}\times 2^{\frac{3}{2}}=24\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{47\sqrt{2}}{2}

$\displaystyle p=2$ , $\displaystyle q=47$ 은 서로소이므로 $\displaystyle p+q=49$ 입니다.

계산되지 않는 적분이 두 개 있으면, 서로 지워지도록 설계되었는지부터 보는 것이 이 문항이 가르치는 눈입니다.

답 49

풀이 단계 — ★가 많을수록 막히기 쉬운 단계 · ←관문 = 풀이가 갈리는 지점

단계 A ★
지수부 u=2x+½cosπx 의 u'=2−(π/2)sinπx>0: f 증가·역함수 존재를 확인한다
단계 B ★★
둘째 적분을 x=f(t) 로 치환: g(x)=t·g'(x)dx=dt·x=f(t) → ∫₀² 2^{4t}/f(t) dt = ∫₀² 2^{2t−½cosπt} dt
단계 C ★★
첫째 적분은 역함수 적분: ∫_{f(1)}^{f(3)} g dx = 3f(3)−f(1)−∫₁³ f dt
단계 D ★★★ ←관문
∫₁³ f 를 t→t+1 로 평행이동하면 cosπt 부호가 뒤집혀 정확히 4×(둘째 적분). 계산 불가능한 두 적분이 통째로 소거
단계 E ★
남는 값 ¾·2^{11/2}−¼·2^{3/2}=(47/2)√2 → p+q=49

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"치환까지 했는데 ∫2^{2t−½cosπt}dt 가 계산이 안 된다. 다음 한 수는?" (A) 다른 쪽 적분을 평행이동해 같은 꼴로 만든다. 합에서 소거된다 (B) 부분적분을 시도한다 (C) cos 를 급수로 전개한다 → (A). 안 풀리는 적분이 두 개 있으면 서로 지워지도록 설계됐는지부터 본다.

델타스킬 해설실

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